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By Hans Kurzweil

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Also ist N = B · A, A ∈ F[X]. Bestimme A(2) ohne A explizit zu berechnen. 58 6 Zyklische Gruppen Wir zeigen im n¨achsten Kapitel, dass die multiplikative Gruppe F∗ eines endlichen K¨orpers eine zyklische Gruppe ist. Dazu bestimmen wir in diesem Kapitel die Struktur einer zyklischen Gruppe und gewinnen damit auch wesentliche Strukturaussagen fu¨r endliche K¨orper. Wir definieren: Eine Gruppe G ist eine nicht leere Menge G = {a, b, c, . } in der je zwei Elementen a, b ∈ G in eindeutiger Weise ein Element ab ∈ G zugeordnet ist (man nennt ab das Produkt von a, b), so dass gilt: G1) Das Produkt ist assoziativ und kommutativ: 7 a(bc) = (ab)c und ab = ba G2) Es existiert ein Einselement 1 ∈ G und es existiert zu a ∈ G ein inverses Element a−1 ∈ G : 1a = a und aa−1 = 1 Wir haben die Gruppe multiplikativ geschrieben, die Notation in einer additiv geschriebenen Gruppe erkl¨aren wir weiter unten.

1 keinen Teiler vom Grad 1, denn A(0) = 1 = A(1). B. mit dem Kalk¨ ul der Funktionentheorie bewiesen werden 53 Teiler P von N mit grad P = 2, der keine Nullstelle in F besitzt. 5 ist P irreduzibel und nach dem schon bewiesenem ist P = X 2 + X + 1. Wir haben aber in Beispiel II auf Seite 22, gezeigt, dass X 2 + X + 1 kein Teiler von N ist. Also ist N irreduzibel. V¨ollig analog beweist man dies in den F¨allen N = 1 + X + X 3 + X 4 und N = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 . Nun gibt es noch weitere fu¨nf Polynome vom Grad 4 .

KgV(A, B) = P ∈P Die Berechnung des ggT und kgV mit diesen Primfaktorzerlegungen von A, B ist sehr zeitaufwendig und deswegen nicht praktikabel. Schneller kommt der Euklidische Algorithmus (EA) zum Ziel, den wir nun vorstellen. Sei grad A ≥ grad B angenommen, sei G = ggT(A, B) . wir ku¨mmern uns im Folgenden nicht um die Normierung von G, jedes skalare Vielfache = 0 von G bezeichnen wir ebenfalls mit G. Der EA besteht aus einer Reihe von Divisionen; die erste hat die Form A = P · B + R1 , grad R1 < grad B .

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by David
4.2

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