Get An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext PDF

By Christian Tapp

ISBN-10: 364229653X

ISBN-13: 9783642296536

ISBN-10: 3642296548

ISBN-13: 9783642296543

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Sein Grundlagensicherungsprojekt kann man als „bootstrapping-Versuch“ einer Wissenschaft ansehen. Das große reduktionistische Projekt Hilberts war es, alle Mathematik in formale Systeme zu übersetzen, diese dann auf möglichst grundlegende Systeme zurückzuführen (etwa die formalisierte Arithmetik) und jene schließlich durch finite Widerspruchsfreiheitsbeweise abzusichern. Da diese Widerspruchsfreiheitsbeweise selbst mit Methoden operieren und entsprechende Voraussetzungen machen, kann man auch diesen letzten Schritt als Reduktion ansehen, diesmal auf die informelle, konstruktive Metatheorie.

An ihnen kann man fast unmittelbar „ablesen“, daß sie nicht auf Widersprüche führen können. Dieses „Ablesen“ entspricht einer Aussage auf der Metaebene der betrachteten Theorie, und derartige „metamathematische“ Aussagen waren durch Hilberts Arbeiten über die logischen Relationen zwischen den Lehrsätzen der Geometrie und damit durch seine neuartige Konzeption von Axiomatik bestens vorbereitet. Da dieses „Ablesen“ bei umfangreicheren Axiomensystemen mehr kombinatorischen Aufwand verursacht, lag es nahe, diesen Schritt mit den kombinatorischen Mitteln der Mathematik durchzuführen.

Man wird daher auch in dieser Arbeit mehr oder weniger bewußte Vorentscheidungen und tendenziöse Darstellungen antreffen. Dennoch liegt diesen Forschungen die erwähnte Maxime zugrunde, historisch wohlinformiert zu arbeiten. 53 Der Umfang des bearbeiteten Stoffes läßt jedoch keinen Anspruch auf Vollständigkeit zu, was die Darstellung aller möglichen Interpretationswei53 Dagegen geben etwa George/Velleman, Philosophies [2002], vii-viii, zu, daß sie nicht einmal durchgängig versucht haben, die von ihnen dargestellten Ideen historisch getreu darzustellen.

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An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext von Formalismus und Finitismus by Christian Tapp


by Edward
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