Download e-book for kindle: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff by Friedrich Bachmann

By Friedrich Bachmann

Torischen Gruppenelemente sind und in den en wir geometrische Bezie hungen wie Inzidenz undOrthogonalitat durch gruppentheoretische Rela tionen erklaren. Die rein gruppentheoretisch formulierten Axiome, die wir wahlen, stellen einfache geometrische Aussagen flir die Punkte und Geraden der metrischen Ebenen dar. Dementsprechend kann guy beim Beweisen aus den Axiomen die Vorteile des gruppentheoretischen Kalktils ausnutzen, ohne den Leitfaden der Anschauung aus der Hand zu geben. Bemerkenswert ist, wie wenige Axiome notig sind. Die metrischen Ebenen, die mit den axiomatisch gegebenen Gruppen definiert sind, sind daher von recht allgemeiner Natur. Eine metrische Ebene braucht nicht anordenbar (erst recht nicht stetig) zu sein. In einer metrischen Ebene braucht nicht freie Beweglichkeit zu bestehen. Es gibt auch metrische Ebenen mit nur endlich vielen Punkten und Geraden. Der Begriff der metrischen Ebene enthalt keine Entscheidung tiber die Parallelenfrage, d.h. tiber die Frage nach dem Schneiden oder Nicht schneiden der Geraden. Die ebene metrische Geometrie, die wir ent wickeln, enthalt ebene euklidische, hyperbolische und elliptische Geo metrie als Spezialfalle, und wird daher, mit einem Ausdruck von J. BOLYAI, auch ebene absolute Geometrie genannt.

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Ainsi, quitte à multiplier X|p par un scalaire plus petit que 1, on suppose que γX est définie pour t = 1. Dans ce cas, pour tout 0 < λ ≤ 1, γλX est aussi définie pour t = 1. On pose V0 le plus grand ouvert de Tp M tel que si X|p ∈ V0 , alors γX est définie en t = 1. Cet ouvert contient bien sûr 0 ∈ Tp M . Sur cet ouvert, on définit l’application exponentielle expp : V0 → M X|p → γX (1) Cette application induit alors un difféomorphisme entre V0 ⊂ Tp M et un voisinage ouvert Up de p dans M . Si u : Rn → Tp M est un isomorphisme d’espaces vectoriels, alors expp ◦u : W ⊂ Rn → Up définit une carte locale (Up , (expp ◦u)−1 ) contenant p.

Nous comprendrons tout cela beaucoup mieux lors de l’étude des connexions sur les fibrés. ), alors toutes ces équations prennent la forme compacte : (R) = d(ω) + (ω) ∧ (ω) (ω) = Λ(ω)Λ−1 + ΛdΛ−1 (R) = Λ(R)Λ−1 Ces transformations qui correspondent à un changement de repère local, sont les transformations de jauge que connaissent les physiciens. 50 Chapitre 1 Variétés différentiables Expression de la différentielle Lorsque nous travaillons avec de tels repères locaux non holonomes, certaines formules écrites jusqu’à présent changent de forme.

Dxn Le produit fait donc apparaître le jacobien du changement de coordonnées, comme il faut s’y attendre pour un changement de coordonnées dans une intégrale sur une ouvert de Rn . L’intégrale U f dv est donc parfaitement définie. En utilisant une partition de l’unité sur M , nous pouvons définir l’intégrale f dv M où « dv = |g|dx1 . . dxn » est l’élément de volume riemannien de (M, g). Dans cette définition de l’intégrale, nous ne définissons donc pas un objet global qui serait une n-forme différentielle partout non nulle, mais une « mesure de Lebesgue » dv.

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by William
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